關(guān)于賀兵猜測的一個(gè)超同余式的進(jìn)一步推廣

主講人：郭軍偉 淮陰師范學(xué)院教授

時(shí)間：2023年12月22日14：30

地點(diǎn)：三號(hào)樓332室

舉辦單位：數(shù)理學(xué)院

主講人介紹：淮陰師范學(xué)院教授，翔宇學(xué)者。獲南開大學(xué)博士學(xué)位，法國里昂第一大學(xué)博士后。曾任華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師。主要從事組合數(shù)學(xué)，q-級(jí)數(shù)和數(shù)論的研究。先后主持三項(xiàng)國家自然科學(xué)基金，以及上海市教育發(fā)展基金會(huì)晨光計(jì)劃，上海市科委青年科技啟明星計(jì)劃，江蘇省自然科學(xué)基金等項(xiàng)目，并入選江蘇省教育廳“青藍(lán)工程”中青年學(xué)術(shù)帶頭人等。 2019年他利用單位根來證明q-同余式的新方法處理了眾多q-同余式問題，是q-同余式方向的一個(gè)重要突破，其研究成果已被國際著名期刊《Advances in  Mathematics》發(fā)表，迄今已在國際數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表了一百四十余篇。

內(nèi)容介紹：In 2017, Bing He conjectured that, for $p \equiv 3 \pmod 4$, $$\sum_{k=0}^{p-1}(6k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3(\frac{1}{4})_k}{k!^4 4^k} \equiv 0\pmod{p^4}.$$ He himself proved the modulus p^2 case, and later Ji-Cai Liu proved the conjecture is true modulo p^3. This conjecture was finally confirm by Chuanan Wei in 2022 by establishing the following q-supercongruence: for $ n\equiv 3\pmod{4}$, $$ \sum_{k=0}^{n-1}[6k+1] \frac{(q;q^{2})_{k}^3 (q;q^4)_{k}}{(q^2;q^2)_k(q^4;q^4)_{k}^{3}} q^{k^{2}+k} \equiv 0 \pmod{[n]\Phi_{n}(q)^3}. $$ In this talk, we shall give the q-supercongruence: for any positive integer $n\equiv 3\pmod{4}$ and non-negative integer s be a non-negative integer $s\leqslant (n-1)/6$, $$\sum_{k=s}^{n-s-1}[6k+1] \frac{(q;q^2)_{k-2s}(q;q^2)_{k+2s}(q;q^2)_{k}(q;q^4)_{k} } {(q^2;q^2)_k (q^4;q^4)_{k-s}(q^4;q^4)_{k+s} (q^4;q^4)_{k}} q^{k^2+k} \equiv 0\pmod{\Phi_n(q)^4},$$ which is a generalization of Wei's result in the modulus $\Phi_n(q)$ case. Here the $q$-shifted factorial is defined as $$ (a;q)_n=\begin{cases}(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}),&\text{if $n=1,2,\ldots,$} 1, &\text{if $n=0$,}\\ \dfrac{1}{(1-aq^{-1})(1-aq^{-2})\cdots (1-aq^n)}, &\text{if $n=-1,-2,\ldots,$} \end{cases} $$ the q-integer is defined by [n]=(1-q^n)/(1-q), and \Phi_n(q) stands for the n-th cyclotomic polynomial.