Nonlinear Subelliptic Boundary-Value Problems -- What is different with non-degenerate cases

主講人：陳化 武漢大學(xué)教授

時間：2023年11月3日16：30

地點：三號樓332室

舉辦單位：數(shù)理學(xué)院

主講人介紹：陳化，武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院二級教授。研究方向為偏微分方程的微局部分析理論，在退化型偏微分方程、退化橢圓算子的譜以及生物數(shù)學(xué)模型的研究等方面取得了一系列重要的研究成果。陳化至今已主持國家自然科學(xué)基金項目26項，其中包括國家杰出青年基金和國家海外杰出青年合作基金，八五國家重點項目、九五國家重點項目、十一五國家重點項目主要成員，并在近十年來連續(xù)主持十二五國家重點項目（2012-2016）、十三五國家重點項目（2017-2021）、十四五國家重點項目（2022-2026）以及國家基金委天元基金交叉平臺項目（2017），還為國家重大項目973核心數(shù)學(xué)項目組成員（2001-2006）以及國家重點研發(fā)計劃重點專項項目組成員（2022-2027），并獲教育部跨世紀(jì)優(yōu)秀人才基金。2022年陳化所在的武漢大學(xué)偏微分方程研究團隊榮獲國家基金委創(chuàng)新團隊。陳化至今在國內(nèi)外一流SCI數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表論文120多篇，編輯書籍3本，并參與在1992年和1999年兩次獲教育部科技進步二等獎。2017年陳化主持的項目獲教育部自然科學(xué)獎一等獎。陳化曾任武大數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院院長、國務(wù)院數(shù)學(xué)學(xué)科評議組第六屆和第七屆成員、教育部科技委第三屆委員會委員。陳化現(xiàn)為武漢大學(xué)數(shù)學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心主任、湖北省數(shù)學(xué)會理事長。

內(nèi)容介紹：Let us consider the multiple solutions (or multiple sign changing soulutions ) for the following semilinear subelliptic Dirichlet problem \[ \left\{ \begin{array}{cc} -\triangle_{X} u=f(x,u)+g(x,u) & \mbox{in}~\Omega, \\[2mm] u=0\hfill & \mbox{on}~\partial\Omega, \end{array} \right. \] where $\triangle_{X}=-\sum_{i=1}^{m}X_{i}^{*}X_{i}$ is the self-adjoint H\{o}rmander operator associated with vector fields $X=(X_{1},X_{2},\ldots,X_{m})$ satisfying the H\{o}rmander condition, $f(x,u)\in C(\overline{\Omega}\times \mathbb{R})$, $g(x,u)$ is a Carath\'{e}odory function on $\Omega\times \mathbb{R}$, and $\Omega$ is an open bounded domain in $\mathbb{R}^n$ with smooth boundary. Combining the perturbation from symmetry method with the approaches involving eigenvalue estimate, Morse index in estimating the min-max values and degenerate Cwikel-Lieb-Rozenblum type inequality, and modified method for invariant sets, we obtain two kinds of existence results for multiple weak solutions to the problem above. Furthermore, we discuss the difference between the eigenvalue estimate approach and the Morse index approach in degenerate situations. Compared with the classical elliptic cases, both approaches here have their own strengths in the degenerate cases. This new phenomenon implies the results in general degenerate cases would be quite different from the situations in classical elliptic cases.